Question

2.设 a,bN, 若 (a,b)=[a,b], 求证: a=b？

Answer 1

设 a,b 都是自然数，且 (a,b)=[a,b]，即 a,b 的最大公约数等于它们的最小公倍数。根据最小公倍数的定义可知，a 和 b 都是最小公倍数的倍数，即存在自然数 x,y 使得 a=x[a,b]，b=y[a,b]。由于 (a,b)=[a,b]，则 a,b 的所有公因数都是 [a,b] 的因数。又因为 a=b[a,b]，故 a 也是 [a,b] 的倍数，即 a=[a,b]k，其中 k 是自然数。由于 a 和 b 都是 [a,b] 的倍数，且它们互质（最大公约数为 1），则 k=1。因此，a=[a,b]，即 a 和 [a,b] 相等。同理，b=[a,b]。因此，a=b。证毕。