Question

数学归纳法问题

用数学归纳法证明
(a1+a2+···+an)^2=a1^2+a2^2+···+an^2+2(a1a2+a1a3+···+an-1an) (n≥2,n∈N*)
要详细步骤

Answer 1

证：
(1)n=2时，
左式＝(a1+a2)^2=a1^2+a2^2+2a1a2
右式＝a1^2+a^2+2a1a2
所以左式＝右式，成立！
(2)假设n=k>2时，成立，即：
(a1+a2+···+ak)^2=a1^2+a2^2+···+ak^2+2(a1a2+a1a3+···+ak-1ak)
那么当n=k+1时：
左式＝(a1+a2+···+ak+a(k+1))^2
＝(a1+a2+···+ak)^2+a(k+1)^2+2a(k+1)·(a1+a2+···+ak)
＝a1^2+a2^2+···+ak^2+2(a1a2+a1a3+···+ak-1ak)+a(k+1)^2+2a(k+1)·(a1+a2+···+ak)
＝a1^2+a2^2+···+ak^2+a(k+1)^2+22(a1a2+a1a3+···+ak-1ak+akak+1)＝右式

所以n=k+1时也成立！

综上，n≥2,n∈N*，原等式总成立！