Question

y=(sinx+cosx)的n次方的导数？

Answer 1

要计算 y = (sin(x) + cos(x))^n 的导数，我们需要应用链式法则。链式法则用于复合函数的导数，即一个函数的自变量是另一个函数。

链式法则表述为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

在这个例子中，我们的复合函数是 f(x) = x^n 和 g(x) = sin(x) + cos(x)，我们需要计算它们的导数。

1. 计算 f'(x)：由于 f(x) = x^n，我们可以应用幂法则求导得到 f'(x) = n * x^(n - 1)。

2. 计算 g'(x)：由于 g(x) = sin(x) + cos(x)，我们分别计算 sin(x) 和 cos(x) 的导数。sin(x) 的导数是 cos(x)，cos(x) 的导数是 -sin(x)。因此，g'(x) = cos(x) - sin(x)。

现在我们可以应用链式法则计算 (sin(x) + cos(x))^n 的导数：

y'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
= n * (sin(x) + cos(x))^(n - 1) * (cos(x) - sin(x))

这就是函数 y = (sin(x) + cos(x))^n 的导数：y'(x) = n * (sin(x) + cos(x))^(n - 1) * (cos(x) - sin(x))。

Answer 2

我们可以使用多元函数的链式法则：
如果y = f(u) 和 u = g(x)都是可导函数，那么链式法则给出：
dy/dx = f'(u) * g'(x)
对于这道题：
y = (sinx+cosx)^n
在这里，u = sinx+cosx，所以：
y = u^n
对于u，有：
u = sinx+cosx
导数：
u' = cosx - sinx
使用链式法则：
dy/dx = f'(u) * g'(x)
f(u) = u^n, 所以：
f'(u) = n*u^(n-1)
g(x) = sinx+cosx, 所以：
g'(x) = cosx - sinx
把上面的结果带回到链式法则中：
dy/dx = f'(u) * g'(x)
= n*(sinx+cosx)^(n-1) * (cosx - sinx)

因此，y=(sinx+cosx)^n的导数为n*(sinx+cosx)^(n-1) * (cosx - sinx)。