Question

如何求矩阵的逆矩阵？

Answer 1

逆矩阵的求法主要有以下两种：

1、利用定义求逆矩阵。

定义：设A、B都是n阶方阵，如果存在n阶层方阵B使得AB=BA=E。则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵。

2、是初等变换法

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法。如果A可逆，则A通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在矩阵P1、P2、......Ps使得：

（1）P1P2.......PsA=I,用A的负一次方右乘上式两端。

（2）P1P2.....PsI=A的负一次方。

比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换华为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A的负一次方。这就是初等变换法在求逆矩阵中的应用。它是实际应用中比较简单的一种方法，需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换。同样，只作列初等变换也可以求逆矩阵。

Answer 2

常用两种方法：

1、伴随矩阵法。先看伴随矩阵的求法：

于是得到矩阵的逆矩阵为：

其中。|A|为矩阵A行列式的值。

2、初等行变换法。

首先写出方阵A的增广矩阵，其中E为单位矩阵，即对角线为“1”、其余元素为0的n阶方阵。

将该增广矩阵进行初等行变换，直至将A等效变换为E。

此时，后面的单位矩阵同步进行初等行变换而发生变化，当A→E时，则E→A逆。

初等行变换包含三种变换：

（①，②）—— ①，②两行对换位置；

③×k：第三行所有元素乘以某一不为零常数k；

④+①×k：将第一行所有元素乘以不为零常数k，然后加到第四行所有对应元素上。