Question

一道微积分证明题

f(x) is continuous at close interval [0,1]. f(0)=f(1). show that there exist a number c such that f(c-1/8)=f(c+1/8)

中文意思差不多是 在[0,1]中 f（x）是连续的。 f(0)=f(1)。证明 在这个区间存在一个点c 以至于 f(c-1/8)=f(c+1/8)

有会做的吗。（注意知识连续的没说可以微分）

Answer 1

证明：如果不存在这样的c

对任意的c,f(c-1/8)与f(c+1/8)始终不能等
则必有f(c-1/8)>f(c+1/8)或者f(c-1/8)<f(c+1/8)
否则由介值定理可知一定有一个点使两边相等
若f(c-1/8)>f(c+1/8)
则f(0)>f(2/8)>f(4/8)>f(6/8)>f(8/8)=f(1)
与已知矛盾，同理，若f(c-1/8)<f(c+1/8)
则f(0)<f(2/8)<f(4/8)<f(6/8)<f(8/8)=f(1)
与已知矛盾。综上所述，一定可以存在一个点
c 以至于 f(c-1/8)=f(c+1/8)