Question

三角函数图象怎么平移变换？

Answer 1

三角函数的平移变换主要涉及两个方向：沿x轴方向和沿y轴方向。

沿x轴方向的平移：这相当于在函数表达式中加上或减去一个数值。如果这个数值是正的，函数图象会向左平移；如果这个数值是负的，函数图象会向右平移。具体来说，如果我们以正弦函数为例，y=sin(x)向左平移a个单位后变为y=sin(x+a)，其中a为正值；向右平移a个单位后变为y=sin(x-a)，其中a为正值。对于余弦函数，也是同样的规律，y=cos(x)向左平移a个单位后变为y=cos(x+a)，其中a为正值；向右平移a个单位后变为y=cos(x-a)，其中a为正值。
沿y轴方向的平移：这相当于在函数表达式中乘以或除以一个数值。如果这个数值是正的，函数图象会向上平移；如果这个数值是负的，函数图象会向下平移。以正弦函数为例，y=sin(x)向上平移A个单位后变为y=Asin(x)，其中A为正值；向下平移A个单位后变为y=-Asin(x)，其中A为负值。对于余弦函数，也是同样的规律，y=cos(x)向上平移A个单位后变为y=Acos(x)，其中A为正值；向下平移A个单位后变为y=-Acos(x)，其中A为负值。
需要注意的是，在沿x轴和y轴进行平移时，先进行x轴平移再进行y轴平移，效果等同于先进行y轴平移再进行x轴平移。但是，如果先进行x轴平移再进行y轴平移，要先进行x轴平移，然后再进行y轴平移。

Answer 2

三角函数图象平移的基本办法
1、相位变换：y=f(x)：向左平移φ（φ＞0）个单位→y=f(x+φ)；y=f(x)：向右平移｜φ｜（φ＜0）个单位→y=f(x+φ)。
如：y=sinx向左平移π/6个单位→y=sin(x+π/6)；向右平移π/6个单位→y=sin(x-π/6)；反过来，y=sin(x+π/6)
向右平移π/6个单位→y=sinx；y=sin(x-π/6)
向左平移π/6个单位→y=sinx
2、平移变换：y=f(x)：向上平移k（k＞0）个单位→y=f(x)+k；y=f(x)：向下平移k（k＜0）个单位→y=f(x)+k。
如：y=sin2x：向上平移2个单位→y=sin2x+2；y=f(x)：向下平移2个单位→y=sin2x-2。
3、周期变换：y=f(x)：横坐标扩大为1/ω倍(0＜ω＜1）、或缩短为1/ω倍(ω＞1）→y=f(ωx)
需要注意的是：如果对于任意定义域内的x，有：f(x)=f(x+A)，则该函数的周期为｜A｜
4、振幅变换：y=f(x)：纵坐标扩大为A倍(A＞1）、或缩短为A倍(0＜A＜1）→y=Af(x)
5、对称变换：y=f(x):：关于x轴对称→y=-f(x)；关于y轴对称→y=f(-x)
6、具体操作：y=Asin(ωx+φ)的图象可以由下列两种途径得到：
1先平移后伸缩：由y=sinx的图象→y=sin(x+φ)的图象→y=sin(ωx+φ)
的图象→y=Asin(ωx+φ)的图象
2先伸缩后平移：由y=sinx的图象→y=sinωx的图象→y=sin(ωx+φ)
的图象→y=Asin(ωx+φ)的图象。需要特别注意的是：y=sinωx的图象得到y=sin(ωx+φ)
的图象时，因为sin(ωx+φ)=
sin[ω(x+φ/ω)]，所以应该将y=sinωx的图象沿x轴向左（φ/ω＞0）或向右（φ/ω＜0）平移∣φ/ω∣个单位，而不是平移∣φ∣个单位。