Question

线面平行的判定定理

Answer 1

线面平行的判定定理为：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

一、释义：

线面平行：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行。

二、证明过程：

1、证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。

假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。

而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。

于是假设错误，故原命题正确。

2、证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。

假设若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条不一定直线与这个平面平行。

若直线a与平面α不平行，且由于a不在平面α内，则有a与α相交，设a∩α=F。

过点F在平面α内作直线c‖b。

由于a‖b则a‖c。

又F∈a，且F∈c，即a∩c=F，这与a‖c相矛盾，所以假设不正确，原命题正确。

线线平行和面面平行的性质：

1、线线平行：

同位角相等两直线平行在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：内错角相等两直线平行。

在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：同旁内角互补两直线平行。

2、面面平行：

如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。