Question

数列Cn的通项公式为Cn=(2n-1)3ⁿ,则Cn的前n项和为？

Answer 1

数列 Cn 的前 n 项和 S_n 可以通过将所有的 Cn 相加而得到，即：
S_n = C1 + C2 + C3 + ... + Cn
将数列 Cn 的通项公式代入可得：
S_n = (2¹-1)3¹ + (2²-1)3² + (2³-1)3³ + ... + (2ⁿ-1)3ⁿ
化简后得到：
S_n = 3[1×2¹ + 2×3² + 3×3³ + ... + n×3ⁿ]
我们知道等比数列的前 n 项和为：a(1-qⁿ)/(1-q)，其中 a 是首项，q 是公比。根据这个公式，我们可以将上式进一步化简：
S_n = 3[1×(3-2) - 2×(3²-2²) + 3×(3³-2³) - ... + n×(3ⁿ-2ⁿ)]
化简后得到：
S_n = 3[3ⁿ - Σ(2^i × (i+1)), i=0 到 n-1]
其中，Σ 表示求和符号，i 表示下标。所以，数列 Cn 的前 n 项和为：3[3ⁿ - Σ(2^i × (i+1)), i=0 到 n-1]。