Question

如果一个连续函数在闭区间有最大值，最小值呢

Answer 1

介值定理

介值定理（又名中间值定理）是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。

在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

基础定义

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

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这有个重要的推论：

如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在（博尔扎诺定理）；

介值定理的证明

[a,b],f(a)=A,f(b)=B, （f(x) 在区间 [a,b] 上连续，η 介于 A,B 之间，证明至少存在一个 f(ε)=η）

利用零点定理证明介值定理，构造函数 φ(x)=f(x)−η，则有 φ(a)=f(a)−η,φ(b)=f(b)−η，因此根据零点定理有，φ(a)⋅φ(b)<0⇒φ(ε)=0

介值定理公式

f(b)-(a+b)/2。介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。如果一个连续函数在区间内有相反符号的值，那么它在该区间内有根存在。