如何证明每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量？
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设一个向量组有两个极大线性无关组
(a1,a2,...,am)
(b1,b2,...,bn)，其中m<n
根据极大线性无关组性质，b1,b2,...,bn都可以由（a1,a2,...,am)线性表示，即存在矩阵C，满足
AC=B
其中A是以(a1,a2,...,am)为列向量的矩阵
C是mxn的系数矩阵
B是以(b1,b2,...,bn)为列向量的矩阵
根据极大线性无关组概念，r(B)=n, r(A)=m, r(C)<=m
显然根据r(B)=r(AC)<=min(r(A),r(C)) <=m矛盾
所以m=n
(a1,a2,...,am)
(b1,b2,...,bn)，其中m<n
根据极大线性无关组性质，b1,b2,...,bn都可以由（a1,a2,...,am)线性表示，即存在矩阵C，满足
AC=B
其中A是以(a1,a2,...,am)为列向量的矩阵
C是mxn的系数矩阵
B是以(b1,b2,...,bn)为列向量的矩阵
根据极大线性无关组概念，r(B)=n, r(A)=m, r(C)<=m
显然根据r(B)=r(AC)<=min(r(A),r(C)) <=m矛盾
所以m=n
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2024-10-13 广告
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