Question

收敛数列必定是有极限的吗？

Answer 1

有极限的数列一定是收敛数列，极限存在的数列一定是收敛数列；收敛数列其极限也一定存在的。

收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

数列收敛判断：

在出现具有阶乘通项的数列时，我们直接使用根式判别法无法较好地给出阶乘的估计（事实上可以使用Stirling公式给出较为精确的估计），然而使用比值判别法可以快速计算出根式判别法中的序列极限。例如，在上一题中，如果我们假定 a大于0则直接使用比值判别法。