Question

已知BD,CE是三角形ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB，求角AQP的度数

Answer 1

如图，显然：∠1=∠2 。

连接AP。

在△ABP和△ACQ中：CQ=AB、∠1=∠2、BP=CA，故两者全等。

得：AP=AQ、 ∠PAB=∠AQC。

则∠PAQ=∠PAB-∠QAE=∠AQC-QAE=∠AEQ=90°；

得知APQ为直角等腰三角形，

所以：∠AQP=45°.

Answer 2

证明：
1、在△AEC和△ADB中，∠BAC是公共角，△AEC和△ADB中有一个角是直角（已知），所以
△AEC∽△ADB，所以∠ABD=∠ACE
在△ABP和△QCA中，∠ABD=∠ACE（已证），BP=AC（已知）CQ=AB（已知）
所以△ABP≌△QCA，所以AP=AQ（对应边相等）
2、△ABP≌△QCA，所以∠QAC=∠APB，
在△ADP中∠ADP=90度，∠PAC=90-∠BPA，∠QAC=∠BPA（已证）
∠QAP=∠QAC+∠PAC=∠QAC+90-∠BPA=90，所以AP垂直AQ

所以AQP=45°