Question

已知如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分角DBA和角CBA，过点D作AD的平行线，交AB与点Q

(1)求证：AP垂直PB，
(2)如果AD=5cm，AP=8cm,那么AB的长是多少？△APB的面积是多少？

Answer 1

估计题目打错了，AP是不可能平分∠DBA的
我按平分∠DAB证明了
（1）AP和BP是角平分线，∠PAB+∠PBA=1/2（∠DAB+∠CBA）=1/2×180°=90°
所以∠APB=90° AP⊥BP
（2）AP平分∠DAB，∠DAP=∠MAP。AB‖CD，∠DPA=∠MAP ∴∠DAP=∠DPA
PD=AD。同理，PC=BC=AD，CD=PD+PC=10 所以AB=10
△ABP是直角三角形，AB=10，AP=8，则BP=6。所以面积为1/2×6×8=24

Answer 2

应该是 AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA吧。
因为 是 平行四边形，所以
∠DAB + ∠CBA = 180

AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA
∠PAB = ∠DAB/2
∠PBA = ∠CBA/2
∠PAB + ∠PBA = (∠DAB + ∠CBA)/2 = 180/2 = 90
∠APB = 180 - (∠PAB+∠PBA) = 90
所以AP垂直PB

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因为 PQ || AB ，所以
∠APD = ∠PAQ
∠APQ = ∠PAD

AP平分∠DAB，∠PAQ = ∠PAD，所以
∠APD = ∠APQ

在 △APD 和 △APQ 中
∠APD = ∠APQ
AP = AP
∠PAD = ∠PAQ
所以根据角边角定理，
△APD ≌ △APQ
对应边相等，则
AD = AQ

同理可证 BQ = BC

因为是平行四边形，所以
BC = AD = PQ

因此 AQ = BQ = AD = 5
AB = AQ + BQ = 10

根据勾股定理，可以推出
BP^2 = AB^2 - PA^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36
所以
BP = 6

因此 △APB的面积
S = (1/2) AP * PB
= (1/2)*8*6
= 24

Answer 3

（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=
12∠DAB，∠PBA=
12∠CBA
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∴∠APB=180°-90°=90°．从而AP⊥PB

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA
∴DP=AD=5
同理PC=BC=5
∴AB=DC=DP+PC=10
∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：BP=
AB2-AP2=
102-82=6
∴△APB的面积是12AP•BP=
12×8×6=24．

Answer 4

我来帮你配上图片吧？！