Question

求解一个积分。

求详细过程
答案是根号下2π。答案我知道的。我只是想知道详细求解过程。高等数学已经n年没碰过了。实在想不起来怎么解

Answer 1

∫(-∝,+∝) e^(-t²/2)dt=√2∫(-∝,+∝)e^-[(t/√2)²]d(t/√2)
令t/√2=x，则原式=√2∫(-∝,+∝)e^(-x²)dx

又∫∫e^(-x²-y²) dxdy
=∫∫e^(-r²) rdrdα 极坐标转换
=[∫(0,+∝) e^(-r²) rdr]*[∫(0,π)dα]
=π*∫(0,+∝) e^(-r²) dr²
=π*(1-e^(-r²) |(0,+∝)
=π

而:∫∫e^(-x²-y²) dxdy=[∫(-∝,+∝)e^(-x²)dx]*[∫(-∝,+∝)e^(-y²)dy]
=[∫(-∝,+∝)e^(-x²)dx]²

∴∫(-∝,+∝)e^(-x²)dx=√π
∴原式=√2∫(-∝,+∝)e^(-x²)dx=√(2π)

Answer 2

√(2π) ,这是正态分布