Question

为何定积分的计算是在开区间端点处进行的?

Answer 1

这是一个比较细节的问题，我认为开区间上的定积分可以依赖闭区间上的定积分来理解。

同济版书中绝大多数的积分都是闭区间上的积分，这是因为书中提到了一个定理，闭区间上的连续函数必定可积。
对于开区间上函数的积分，我们先在开区间端点处随意补齐两个端点值形成使函数在闭区间上有定义。然后，由于开区间上的连续性不能保证函数有界，而如果函数无界的话，对于同济书中关于定积分的定义，是一定会导致定积分不存在的。这种情况，就是同济书中后面所学的广义积分。而如果开区间上的函数有界，我们只需要在区间两侧的端点补上函数趋近于两个端点的极限值，形成闭区间上的连续函数，必然可积。并且根据定积分的定义，端点处的一个值并不影响区间整体的积分，从而在这种情况下开区间上的积分就等于闭区间上的积分。