Question

两角互补正弦余弦关系

Answer 1

两个角互补时，它们的正弦和余弦值之间有一个特殊的关系。具体来说，如果两个角 $α$ 和 $β$ 互补，则有：
$$\sin(α+β)=\sin α \cos β+\cos α \sin β$$
$$\cos(α+β)=\cos α \cos β-\sin α \sin β$$
这个关系可以进一步化简为：
$$\sin(α+β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(α-β)+\sqrt{2}\tan(α-β))$$
$$\cos(α+β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(α-β)-\sqrt{2}\tan(α-β))$$
其中，$\tan(x)$ 表示 $\frac{\sin x}{\cos x}$。这个关系在解决一些几何问题时非常有用，例如求两个角的和差正弦、余弦值等。