关于线性代数的证明问题,求教
Iftheargumengtedmatricesoftwolinearsystemsarerowequivalent,thenthetwosystemshavethesa...
If the argumengted matrices of two linear systems are row equivalent,then the two systems have the same solution set.In other words,elementary row operations do not change solution set.
elementary row operations:replacement;interchange;scaling
即证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列的线性关系,望高手指教!
我想要证明的过程,哪位能粗略说一下呢? 展开
elementary row operations:replacement;interchange;scaling
即证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列的线性关系,望高手指教!
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2个回答
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时间有限,大略说下。
假设原矩阵A各列有线性关系,记为(*):Ai=k1A1+k2A2+k3A3+...k(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+knAn,其中ki为系数,Ai表示A的各列
对A进行若干次初等行变换,实质上就是对A左乘一系列初等矩阵,这些初等矩阵的乘积可以看成一个可逆矩阵P,即
变换后的矩阵B=PA,将B和A按列分块,得到
[B1,B2,...,Bi-1,Bi,Bi+1,...,Bn]=P[A1,A2,...,Ai-1,Ai,Ai+1,...An]
则,Bi=PAi (i=1,2,。。。,n)
对于(*):Ai=k1A1+k2A2+k3A3+...k(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+knAn,统一左乘P,得到
PAi=k1PA1+k2PA2+k3PA3+...k(i-1)PA(i-1)+k(i+1)PA(i+1)+...+knPAn,
也就就是Bi=k1B1+k2B2+k3B3+...k(i-1)B(i-1)+k(i+1)B(i+1)+...+knBn,
上式说明经过初等行变换后,新矩阵的列之间的线性关系保持不变。
假设原矩阵A各列有线性关系,记为(*):Ai=k1A1+k2A2+k3A3+...k(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+knAn,其中ki为系数,Ai表示A的各列
对A进行若干次初等行变换,实质上就是对A左乘一系列初等矩阵,这些初等矩阵的乘积可以看成一个可逆矩阵P,即
变换后的矩阵B=PA,将B和A按列分块,得到
[B1,B2,...,Bi-1,Bi,Bi+1,...,Bn]=P[A1,A2,...,Ai-1,Ai,Ai+1,...An]
则,Bi=PAi (i=1,2,。。。,n)
对于(*):Ai=k1A1+k2A2+k3A3+...k(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+knAn,统一左乘P,得到
PAi=k1PA1+k2PA2+k3PA3+...k(i-1)PA(i-1)+k(i+1)PA(i+1)+...+knPAn,
也就就是Bi=k1B1+k2B2+k3B3+...k(i-1)B(i-1)+k(i+1)B(i+1)+...+knBn,
上式说明经过初等行变换后,新矩阵的列之间的线性关系保持不变。
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
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