Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f（x)+f（y)=f(x+y),且当x>0时，f（x）<0,且f（1）=-2/3 求证f

求证f（x）为奇函数 f（x）是R上的减函数

Answer 1

设x2>x1,则x2-x1>0,
根据当x>0时,f(x)<0，有f(x2-x1)<0，
而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)，
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
说明函数是减函数

2、证明函数的奇偶性
令x=y=0,则f(0)=2f(0)故f(0)=0
令x+y=0,x,y不为0，有y=-x
则有f(0)=f(x)+f(-x)=0，
即f(x)=-f(-x)，
说明函数是奇函数，图像关于原点对称！

Answer 2

证明
因为，f（x)+f（y)=f(x+y),
有f（0)+f（0)=f(0+0),即f（0)=0
f（x)+f（-x)=f(x-x)=f（0)=0,即f（x)+f（-x)=0,所以f（x）为奇函数。

因为f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）<0,设y>0,有f（y）<0
有，x+y>x,f(x+y),但f(x+y)=f（x)+f（y)<f（x)
所以f（x）是R上的减函数。

Answer 3

设y是0，f（x ）＋f （0）＝f （x），即f （0）＝0，设y＝－x ，f （x ）＋f （－x ）＝f （0）＝0，－f（x）＝f （－x ）。

Answer 4

由f（x)+f（y)=f(x+y),
得f（0)+f（0)=f(0+0),
f（0)=0；
令y=-x得f（0)=f（x)+f（-x)=0
所以f（x)=-f（-x)所以f（x）为奇函数
（2)由f（x)+f（y)=f(x+y)
令定义在R上的函数f(x)中x=x1,y=-x2且x1>x2则x1-x2>0所以f(x1-x2)
f（x1)+f（-x2)=f(x1-x2)<0
所以f（x1)-f（x2)<0，f（x1)<f（x2)

所以f（x）是R上的减函数