Question

一道函数数学题

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）的增函数，对任意的x>0，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y）且满足f（2）=1。
（1）求f（1），f（4）的值。
（2）解关于x的不等式f（x）-f（x-3）>2

Answer 1

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)
所以,f(1)=0
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=1+1=2

2.
f(x)-f(x-3)>2
即f(x)>f(x-3)+f(4)
f(x)>f[4(x-3)]
增函数得:x>4(x-3)
x>4x-12
x<4.
定义域:x>0,x-3>0,即x>3
综上所述,解是3<x<4

Answer 2

1)由f（xy）=f（x）+f（y）
f（2*1）=f（2）+f（1）
f（1）=0
f（4）=f（2）=f(2)=2
2)f（x）-f（x-3）>2
_>f(x/x-3)>f(4)

函数y=f（x）是定义在（0，+∞）的增函数
x/x-3>4
x<3

Answer 3

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）的增函数，对任意的x>0，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y）且满足f（2）=1。
（1）求f（1），f（4）的值。
（2）解关于x的不等式f（x）-f（x-3）>2

对任意的x>0，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y） 则有 f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
f(2)=f(1)+f(2)=0+1=1
f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2

f（x）-f（x-3）>2
f(x)>f(x-3)+2
f(x)>f(x-3)+f(4)
f(x)>f((x-3)*4))
增函数
x>(x-3)*4
x>4x-12
x<3
由于x>0 函数成立
故 0<x<3