Question

【读书笔记-机器人学中的状态估计】第7章-矩阵李群_详细公式推导

Answer 1

在探讨机器人学中的状态估计时，深入理解旋转与姿态表示是关键。旋转量的集合并非向量空间，而是形成非交换群，其中包含特殊正交群SO(3)和特殊欧几里得群SE(3)。特殊正交群SO(3)表示有效的旋转矩阵，其集合受正交约束影响，将9个参数的旋转矩阵降至3个自由度。特殊欧几里得群SE(3)则表示包含平移和旋转的变换矩阵集合，用于姿态表示。

旋转矩阵的集合SO(3)虽然不能形成向量空间的子空间，但它是矩阵李群的一种，意味着其元素遵循群运算的规则，并且在微分流形上具有光滑性。姿态矩阵SE(3)同样如此，二者都具有闭合性、单位元素、逆元素，并满足结合律，构成非交换群。

与矩阵李群关联的是李代数，它是数域上的向量空间，通过李括号操作来定义。旋转李代数so(3)和姿态李代数se(3)分别是SO(3)和SE(3)的李代数，它们提供了旋转和姿态的线性化表示。

指数映射是连接矩阵李群和李代数的重要操作，它允许将旋转矩阵和姿态矩阵与它们对应的旋转轴角或平移旋转轴向量相关联。这在参数化旋转和姿态表示时尤其有用。

通过指数映射，可以将旋转角度和旋转轴向量映射到旋转矩阵，反之亦然。对于旋转SO(3)，指数映射将旋转轴角表示为旋转矩阵，而对姿态SE(3)，则将旋转和平移信息合并为一个变换矩阵。这种映射性质使得在处理旋转和平移组合时变得简单直观。

旋转SO(3)和姿态SE(3)的指数映射是满射的，意味着几乎所有的旋转矩阵和变换矩阵都可以由一个旋转轴角或姿态向量生成。然而，存在奇异性问题，即多个参数可以产生相同的旋转矩阵或变换矩阵。

伴随矩阵是一个旋转矩阵或变换矩阵的李群元素，它在计算旋转和姿态组合时扮演重要角色。通过伴随矩阵，可以实现矩阵的指数和对数运算，用于更高效地处理旋转和平移组合。

旋转和姿态的组合可以通过Baker-Campbell-Hausdorff公式来进行，该公式提供了一种将两个矩阵指数相乘的方法。在旋转SO(3)中，BCH公式简化为特定形式，允许计算旋转组合。姿态SE(3)中的BCH公式同样存在，但未在文中详细展开。

在旋转和姿态的描述中，距离、体积和积分的概念是重要的数学工具。旋转之间的距离可以通过旋转矩阵的差定义，而姿态则包含旋转和位移信息的综合距离。

在李群中进行插值时，传统的线性插值方法不适用，因为它不满足群的结合律。旋转和姿态插值需要特殊的方法，如指数映射相关的方法，以确保结果仍然属于相应的李群。

齐次坐标和微积分在机器人学中也扮演关键角色，但详细内容未在文中展开。微分几何和优化技术在状态估计和控制算法设计中至关重要，帮助解决机器人运动规划和路径跟踪等问题。

运动学是研究机器人关节运动与末端执行器运动关系的领域，它在机器人学中占有核心地位，但具体细节未在文中涉及。运动学问题通常通过反解运动学和正解运动学来解决，前者从关节角度计算末端位置，后者从末端位置反推关节角度。