Question

如图等腰直角三角形ABC位于第一象限

如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=k/x（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是
A.1＜k＜2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k＜4

Answer 1

解：如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，
∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上，
∴A（1，1），又AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC为等腰直角三角形，
BC的中点坐标为（
3+1
2
，
1+3
2
），即为（2，2），
∵点（2，2）满足直线y=x，
∴点（2，2）即为E点坐标，AE⊥BC，
∴AE=BE，
∵EF⊥x轴，
∴M为AB中点，
EM=
1
2
AC=1，AM=1，
∴EF=1+1=2，OF=1+1=2，
E点坐标为（2，2），
∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，
当双曲线与△ABC有唯一交点时，1≤k≤4．
故答案为：1≤k≤4．

Answer 2

选（C）

点A坐标为（1，1）
点B坐标为（3，1）
点C坐标为（1，3）
直线BC的解析式是：y=-x+4
直线BC和直线y=x的交点是：
点D（2，2）
当双曲线与△ABC交于点A时，k有最小值1×1=1
当双曲线与△ABC交于点D时，k有最大值2×2=4
则k的取值范围是：1≤k≤4