Question

在三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F是BC上的点，∠EAF=45°，求证EF2=BE2+FC2

求证EF²=BE²+FC²

Answer 1

证明：因为△CBA是等腰直角三角形，∠CAB=90°所以CA＝BA，∠C＝∠CBA＝45°将△CAF绕A旋转90度到△ABM的位置，连接EM因为△CAF≌△BAM所以AF＝AM，∠CAF＝∠BAM，∠C＝∠ABM＝45°，CF＝BM因为∠CAB＝90°，∠FAE＝45°所以∠CAF＋∠BAE＝45°所以∠BAM＋∠BAE＝45°，即∠MAE＝45°所以∠FAE＝∠MAE又因为AE＝AE所以△FAE≌△MAE（SAS）所以EF＝EM因为∠MBE＝∠CBA＋∠ABM＝45°＋45°＝90°所以△BME是直角三角形由于CF＝BM，EF＝EM所以CF、EF、EB这三条线断能组成以EF为斜边的直角三角形所以EF的平方=BE平方+FC的平方