Question

概率论 边缘概率密度的问题

设（X,Y）的概率密度为f(x,y)=｛8xy 0≤x≤y , 0≤y≤1
｛ 0 其他
求关于X及关于Y的边缘概率密度
解： 当0≤x≤1时， fx(x)=∫ f(x,y) dy [积分限为 X 到1 ]
当0≤y≤1时 fY(y)=∫ f(x,y) dx [积分限为 0到 y]
上面写的解只是只是其中一部分. 请教各位高手...为什么 ∫ fx(x) 的积分限 定在了X到1 而不是0到X ？ 而求Y的边缘概率密度时 ∫ fY(y) 的积分限 定在了0到y 而不是 y到1 呢 ？
我不会确定二维边缘概率密度积分的限定，基础差.. 诚心提问.各位高手解释的通俗易懂点. 谢了
谢谢各位了。。

Answer 1

为什么 ∫ fx(x) 的积分限 定在了X到1 而不是0到X ？

求X的边缘密度，即取定的x的值，对Y进行积分，积分区间本来为负无穷到正无穷，但它的不为零的部分为图(a)所示，y的值由y=x变化到y=1这一部分。

而求Y的边缘概率密度时 ∫ fY(y) 的积分限 定在了0到y 而不是 y到1 呢 ？

这时取定的y的值，对x进行积分,如图(b)所示，x的值由x=0变化到x=y

Answer 2

同学，你好：
首先， fx(x) 的积分限是指y的积分上下限，因为fx(x)=∫ f(x,y) dy 这个式子中是dy，所以是对y求的积分。确定了这一点，你就去原题条件中找一下y的范围就出来了，即：0≤x≤y 且0≤y≤1，得出x≤y≤1。所以fx(x)的积分限就是x到1。
然后，同理，也是根据原题中（X,Y）的概率密度函数f(x,y)中的范围，即：0≤x≤y 且 0≤y≤1，得出0≤x≤y 。即：fY(y)的积分限也就是X的范围是0到y。
PS：这道题很简单，用这种方法完全奏效的，呵呵~~我考研那会儿就这样做的，呵呵~~

Answer 3

1.确定积分区间，本题中为 0≤x≤y , 0≤y≤1 所确定的区域。
2.求X的边缘密度，要对Y进行积分，积分区间为负无穷－正无穷，本题中Y的积分限为X－1。
3.同理可求Y的边缘密度。

楼主可以看下二重积分的相关章节，可能会有帮助。