Question

知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边

在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数 （k＞0）的图象与AC边交于点E。
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等。
（2）记S＝S△OEF－S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，做一日和尚撞一天钟得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解答:

（1）证明：设E（x1，y1）,F(x2，y2)，△AOE和△FOB的面积为S1、S2
由题意得y1=k/x1, y2=k/x2
∴ S1=x1y1/2=k/2, S2=x2y2/2=k/2
∴S1＝S2 ，即△AOE和△FOB的面积相等
（2）由题意知E、F两点坐标分别为E（k/3，3）、F（4，k/4）
S△ECF＝1/2*EC*CF＝1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S△EDF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△ECF＝12－k/2－k/2－S△ECF
S＝S△OEF－S△ECF＝12－k－2 S△ECF＝12－k－2×1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S＝-k2/12+k
当k＝ 6，S最大为3
（3）设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N
由题意得EN＝AO＝3，EM＝EC＝4－k/3 ，MF＝CF＝3－k/4
∵∠FMN+∠FMB＝∠FMB＋∠MFB＝90°
∴∠EMN＝∠MFB
∵∠ENM＝∠MBF＝90°
∴△ENM△MBF
∴EN/MB=EM/MF
∴ 3/MB=（4－k/3）/(3-k/4)=4*(1-k/12)/3*(1-k/12)
∴MB＝9/4
∵MB2+BF2＝MF2 ∴ （9/4）2+（k/4）2＝（3－k/4）2
解得 k＝21/8
∴BF＝k/4＝21/32
存在符合条件的点F，它的坐标为（4，21/32 ）

Answer 2

看图。

最后一小问还没来得及写，只是大概有个思考。这个点存在，可以设它沿着EF对折恰好落在OB上。

一会写完了再发上来。