Question

圆X2+Y2-4X+2=0的切线在X轴上和Y轴上的截距绝对值相等，求切线方程

Answer 1

∵圆x²+y²-4x+2=0即(x-2)²+y²=(√2)²的切线在x轴上和y轴上的截距的绝对值相等，
∴分两种情况讨论：
①截距为0时，切线过原点，
由图形可知，切线方程为y=±x；

②截距不为0时，
(1)当两个截距相等且不为0时，设切线方程为x+y=a，（a≠0），
当直线与圆相切时，圆心(2，0)到直线x+y=a的距离等于圆的半径长√2，
∴|2-a|/√2=√2，
解得a= 4，（a=0舍去），切线方程为x+y-4=0；

（2）当两个截距互为相反数且不为0时，设切线方程为x-y=a，（a≠0），
当直线与圆相切时，圆心(2，0)到直线x-y=a的距离等于圆的半径长√2，
∴|2-a|/√2=√2，
解得a= 4，（a=0舍去），切线方程为x-y-4=0，

综上，切线方程为：y=±x，或x±y-4=0.

Answer 2

可以用几何法直接求出，x²+y²-4x+2=0，化为(x-2)²+y²=(√2)²分为三种情况：过原点，截距相等，截距互为相反数。其中后两种情况是关于X轴对称的。仅以截距相等为例，图示，截距相等，即两条粗线相等，则图中标出的角为45度，所以图示绿色三角形为等腰直角三角形，所以AB=(√2)的平方，即为2，所以切线截距为4，根据截距式求法：切线方程为X+Y=4；与他对称的就是X-Y=4。