Question

（1）若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x）＝x+1，求f（x）的解析式.

（1）若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x）＝x+1，求f（x）的解析式.
（2）若f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）—g（x）＝x＾3—
2x＾2—x+3，求函数f（x），g（x）的解析式

Answer 1

（1）若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x）＝x+1，求f（x）的解析式.
【解】：f（x）是定义在R上的奇函数
f(x)=-f(-x)
x＞0时，f(x）＝x+1
当x<0,则-x>0
f(-x)=-x+1
f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1
所以：f(x)=x+1,(x>0)
f(x)=0,(x=0)
f(x)=x-1,(x<0)

（2）若f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）—g（x）＝x＾3— 2x＾2—x+3，求函数f（x），g（x）的解析式

【解】：f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数
f（x）-g（x）=x＾3- 2x＾2-x+3
f(-x)-g(-x)=-x^3-2x^2+x+3……（1）
-f(-x)-g(-x)=x^3-2x^2-x+3……（2）
（1）-（2），得
2f(-x)=-2x^3+2x
f(x)=-f(-x)=x^3-x

（1）+（2），得
-2g(-x)=-4x^2+6
g(x)=g(-x)=-2x^2+3