Question

已知函数f（x）＝ax+b/1+x^是定义在（—1，1）上的奇函数，且f（1/2）＝2/5.

（1 ）求f（x）的解析式
（2） 用定义证明f（x）在（—1，1）上是增函数。
（3） 若f（x—1）+f（x）＜0，求x的取值范围。

Answer 1

已知函数f（x）＝(ax+b)/(1+x^2)是定义在（—1，1）上的奇函数，且f（1/2）＝2/5.
（1）求f（x）的解析式
（2） 用定义证明f（x）在（—1，1）上是增函数。
（3） 若f（x—1）+f（x）＜0，求x的取值范围。

解：（1）定义在（—1，1）上的奇函数
所以:f(0)=0
f（0）=b/1=0
b=0
f（1/2）＝2/5
f(1/2)=(a/2)/(5/4)=2a/5
2a/5=2/5
a=1
所以：f(x)=x/(1+x^2)

(2)设任意-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

因为（1+x1^2）(1+x2^2)>0
x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)
=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(x2-x1)(x1x2-1)

(x2-x1)>0
(x1x2-1)<0

所以：f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
x1<x2
所以：f（x）在（—1，1）上是增函数

（3）若f（x—1）+f（x）＜0，求x的取值范围。
f(x-1)<-f(x)
f(x)为奇函数
-f(x)=f(-x)
f(x-1)<f(-x)
f（x）在（—1，1）上是增函数
所以：x-1<-x……（1）
-1<x-1<1……（2）
-1<-x<1……（3）
由（1）（2）（3）得