Question

函数奇偶性

函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).求f(0),f(1)的值 判断f（x)的奇偶性

Answer 1

（一）令a=b=0，则f(0)=0.令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.(二）当x≠0时，可令a=b=x,f(x²)=2xf(x).===>f(x)=(1/2x)f(x²).f(-x)=(-1/2x)f(x²),∴f(x)+f(-x)=0.又f(0)=0.∴f(x)为奇函数。

Answer 2

解：令a=b=0，则据题意得：f(0)=0f(0)+0(0)=0
令a=b=1，则据题意得：f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0

f(-x)=-f(x)+xf(-1)
又f(-1)=-f(1)+f(-1),解得f(-1)=0
所以f(-x)=-f(x)，又f(0)=0，所以f(x)为奇函数

Answer 3

取a=0，b=2
f(0)=0f(2)+2f(0)=2f(0)
f(0)=0
取a=b=1
f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(1)=0
取a=b=-1
f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0
f(-1)=0
取a=-1，b=x
f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
因此为奇函数

Answer 4

f(1*1)=1*f(1)+1*f(1)=2f(1)
f(1)=0
f(0*0)=0*f(0)+0*f(0)=0
f(0)=0
f(1)=f((-1)*(-1))=-f(1)-f(-1)
f(-1)=0
f(-x)=f((-1)*x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
是奇函数