Question

数列｛an}中，a1=1，n≥2时，其前n项和Sn²=an(Sn-1/2）

1.求证：数列｛1/Sn}是等差数列
2.设bn=Sn/2n+1,数列｛bn}的前n项和为Tn,求证：Tn<1/2

Answer 1

因为当n≥2时，其前n项和Sn²=an(Sn-1/2），又因为an=Sn-Sn-1
所以Sn²=(Sn-Sn-1)(Sn-1/2）,化简得：Sn-1-Sn=2SnSn-1两边同除以SnSn-1得：1/Sn-1/Sn-1=2所以，1/Sn是以公差为2的等差数列，且首项为：a1=1/S1=1
所以可以求出：1/Sn=1+(n-1)*2=2n-1,所以Sn=1/(2n-1)
bn=1/(2n-1)(2n+1)=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
所以Tn=1/2[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.......1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/2-1/(2n+1)<1/2

Answer 2

1.求证：数列｛1/Sn}是等差数列
2.设bn=Sn/2n+1,数列｛bn}的前n项和为Tn,求证：Tn<1/2

由题意可知 因为当n≥2时，其前n项和Sn²=an(Sn-1/2），又因为an=Sn-Sn-1
所以Sn²=(Sn-Sn-1)(Sn-1/2）,化简得：Sn-1-Sn=2SnSn-1两边同除以SnSn-1得：1/Sn-1/Sn-1=2所以，1/Sn是以公差为2的等差数列，且首项为：a1=1/S1=1
所以可以求出：1/Sn=1+(n-1)*2=2n-1,所以Sn=1/(2n-1)
bn=1/(2n-1)(2n+1)=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
所以Tn=1/2[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.......1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/2-1/(2n+1)<1/2