高数题求学霸帮助 50
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(1) I = ∫x^2e^xdx = ∫x^2de^x = x^2e^x - ∫2xe^xdx = x^2e^x - 2∫xde^x
= x^2e^x - 2xe^x + 2∫e^xdx = (x^2-2x+2)e^x + C
(2) I = ∫tanx(secx)^3dx = ∫(secx)^2dsecx = (1/3)(secx)^3 + C
(3) I = ∫dx/√(x^2+a^2) (a > 0) 令 x = atant， 则 dx = a(sect)^2dt
I = ∫sectdt = ln|sect+tant|+ C1 = ln|(1/a)√(x^2+a^2)+x/a| + C1
= ln|x+√(x^2+a^2)| + C
(4) y = 1 - xe^y, 两边对 x 求导，得
y' = -e^y - xy'e^y, y' = -e^y/(1+xe^y)
= x^2e^x - 2xe^x + 2∫e^xdx = (x^2-2x+2)e^x + C
(2) I = ∫tanx(secx)^3dx = ∫(secx)^2dsecx = (1/3)(secx)^3 + C
(3) I = ∫dx/√(x^2+a^2) (a > 0) 令 x = atant， 则 dx = a(sect)^2dt
I = ∫sectdt = ln|sect+tant|+ C1 = ln|(1/a)√(x^2+a^2)+x/a| + C1
= ln|x+√(x^2+a^2)| + C
(4) y = 1 - xe^y, 两边对 x 求导，得
y' = -e^y - xy'e^y, y' = -e^y/(1+xe^y)
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