Question

1x2+2x3+3x4+...49x50之和，要列式

Answer 1

原式=(1＋3)×2＋(3＋5)×4＋(5＋7)×6＋……＋(47＋49)×48＋49×50
＝2^3 ×(1^2+2^2+3^2+…+24^2)＋49×50
＝8×[24×(24+1)(2×24+1)/6]＋49×50
＝41650
注 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

一楼用的是拆项
二楼第二个方法用的是以下结论
设（1X2)/2+(2X3)/2+(3X4)/2+.………………+(n+1)n/2=S
得1x2+2x3+3x4+………………+(n+1)n=2S
由n(n-1)+(n+1)n=n^2-n+n^2+n=2n^2
当n为偶数时S=2^2+4^2+6^2+8^2+………………+n^2
当n为奇数时S=2^2+4^2+6^2+8^2+………………+(n-1)^2+(n+1)n/2
当n为偶数时
假设M=2^2+4^2+6^2+8^2+………………+n^2
=4(1^2+2^2+3^2+4^2+………………+(n/2)^2)
=4*(1/6)(n/2)(n/2+1)(n+1)
=(1/6)n(n+1)(n+2)
所以我们可以得出结论
当n为偶数时
(1X2)/2+(2X3)/2+(3X4)/2+.....................+(n+1)n/2=(1/6)n(n+1)(n+2)
当n为奇数时
(1X2)/2+(2X3)/2+(3X4)/2+.....................+(n+1)n/2=(1/6)(n-1)n(n+1)+(n+1)n/2

Answer 2

（一）
1*2+2*3+3*4+...49*50
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...49^2+49
=（1^2+2^2+3^2+...49^2)+(1+2+3+...49）
=1/6*49*(49+1)*(2*49+1)+1/2*49*(1+49）
=1/6*49*50*99+1/2*49*50
=49*25*33+49*25
=49*（825+25）
=49*850
=41650

（二）
1*2+2*3+3*4+...49*50
=1/3*49*（49+1）*（49+2）
=1/3*49*50*51
=17*4941650*50
=41650

Answer 3

原式=1^2+2^2+3^2+…+49^2+1+2+....+49=49(49+1)(2*49+1)/6+(1+2+...+49)=40425+1225=41650