Question

已知二次函数f(1+X)=f(1-X),且f(0)=0,f(1)=1,若在区间[m,n],上值域为[m,n],则m=(),n=()

如题。

Answer 1

不难看出对称轴x=1

所以f(0)=f(2)=0

（1，1）（0，0）（2，0），利用三点求出解析式

f(x)=-x^2+2x

分类讨论，已知默认m<n

当m<n=<1时,值域是(f(m)，f(n)]

根据题意f(m)=-m^2+2m=m, f(n)=-n^2+2n=n

m,n=0，1，符合题意

同理，当1=<m<n时，值域[f(n)，f(m)]

解得m,n=0,1，舍去

当m<1<n时，最大值1,n=1，不合题意舍去

所以m=0,n=1

Answer 2

m=0，n=1

Answer 3

f(1+x)=f(1-x)，f(x)关于x=1对称。
f(0)=0,f(1)=1
f(0)<f(1)
函数在(-∞.1)上单调递增，在[1,+∞)上单调递减。
n>m
n<1时，f(n)>f(m)
设二次函数方程为y=a(x-1)^2+1
x=0 y=0代入，得
a+1=0 a=-1
函数方程为y=-(x-1)^2+1=-x^2+2x
n>m
n<1时，函数单调递增
f(n)=-n^2+2n=n
f(m)=-m^2+2m=m
解得n=1,m=0(舍去)
m>1时，函数单调递减
f(m)=n
-m^2+2m=n (1)
m^2-2m+n=0
n^2-2n+m=0
f(n)=m
-n^2+2n=m (2)
(1)-(2)
(n^2-m^2)-2(n-m)=n-m
整理，得
m+n=3
1在[m,n]上时，f(x)在顶点处取得最大值，此时x=1 y=1 n=1
f(m)=m
-m^2+2m=m，解得m=0

综上，得m,n的取值范围为m>1且m+n=3或m=0 n=1

作为填空题，题目本身有问题。