Question

x趋于0时，求ln(1+x^2)/e^x-1-sinx的极限

Answer 1

对于所有求极限值的方法都是统一：
非0/0型，直接代入求值即可。
0/0型，分子分母求导，代入值如果任然0/0，重复。
无穷/无穷 ............这个可以转成0/0再做
对于这个题目，需要求导2次，代入0值计算结果==2
一次求导（2x/1+x^2）/(e^x-cosx)
二次求导为[(2-2x^2)/(x^2+1)^2]/(e^x+sinx)代入0得到结果==2
总的说来，这是通用的方法，但求导还是比较复杂的，我比较喜欢用级数展开来求，那样比较快。
给楼主一个题2x^2/x^2,楼主对比下这个0/0型的或许能有所收获。所有的极限都可以转换成ax^m/bx^n
发完才看见楼上的，楼上的解法有问题的，第一步的无穷小量替换的条件是默认分子不高于2阶无穷小。比如ln（1+x^2）-x^2就明显不能这样代换（无穷小量是x=0点的级数）。
代换条件其实可以用另外一种条件来等价，0/0型，比如代换分子，只要代换出来表达式不为0就可以了.

Answer 2

lim(x->0) ln(1+x^2)/(e^x-1-sinx) 【等价无穷小量替换：ln(1+t) ~ t t->0】
=lim(x->0) x^2/(e^x-1-sinx) 【罗必塔法则】
=lim(x->0) 2x/(e^x-cosx) 【罗必塔法则】
=lim(x->0) 2/(e^x+sinx)
= 2