Question

求解高一数学函数题

若非零实数f（x）对任意实数a，b均有f（A+B）=f(a）× f(b)，且当x＜0时，f（x）大于1。
（1）求证：f（x）＞0
（2）求证：f（x）为减函数
（3）当f（4）=1/16时，求不等式f（x-3）× f（5-x²）≤1/4.

希望有解题过程或思路，谢谢各位帮助！！！
第一问没看懂 请再讲一下吧 谢了

Answer 1

解：（1）由已知，f（a+b）/f(b)=f(a)=f(a+b-b)
f(0)=f(0)*f(0),则f(0)=1
令x>0,则-x<0,则f(-x)=f(0-x)=f(0)/f(x)=1/f(x)>1
则(由倒数法则)0<f(x)<1
又当x<0时，f(x)>1
故f(x)>0
(2)任意取x1,x2属于R,且x1<x2，则x1-x2<0,则f(x1-x2)>1
由（1）知，f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)>1
又f(x)>0
则f(x1)>f(x2)
故f(x) 在R上为减函数
（3）由已知，f(x-3)*f(5-x^2)=f(-x^2+x+2)<=1/4=f(4)^(1/2)
又f(x)>0
(两边同时平方)则f[(-x^2+x+2)*2]<=f(4)
则(-x^2+x+2)*2<=4
解得0<=x<=1

点拨：有题目可看出，这是一个指数函数的运算法则，若为小题则可举特殊的指数函数来做。这种题型很经典，当你到高三时老师会很强调这种题型，一定要会做，而且步骤书写一定要规范。
这是我的解题过程，可用作参考，希望对你有帮助。

Answer 2

(1)
令a=b=x/2
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]^2
非零函数f(x)
所以f(x)>0
(2)
令a=x1-x2 b=x2 且x1<x2
f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)*f(x2)
f(x1)=f(x1-x2)*f(x2)
[x1-x2<0 f(x1-x2)>1
且f(x1)>0 f(x2)>0]
f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
即得当x1<x2 f(x1)>f(x2)
所以f(x)为减函数
(3)
f(4)=f(2)*f(2) f(2)>0
所以f(2)=1/4
f(x-3)*f(5-x^2)<=1/4
f(x-3+5-x^2)<=f(2)
[f(x)为减函数]
x-3+5-x^2>=2
x^2-x<=0
0<=x<=1