Question

高一向量，三角函数综合题．求解！！

已知a,b均属于（0，pi/2),a+b不等与pi/2,向量A＝（sina,sinb）与B=(cos(a+b),-1)垂直．当tanb取最大值时，求tan(a+b)的值．

Answer 1

因为垂直，所以sina*cos(a+b)-sinb=0，sina*cos(a+b)=sinb， 两边同除cosb，拆开，则sina*cosa-sina*sina*tanb=tanb， 移项 ，（1+sina*sina）*tanb=sina*cosa ， tanb=sina*cosa/（1+sina*sina）
若tanb取最大值，则sina*cosa/（1+sina*sina）有最大值
将分母中的1化作sina^2+cosa^2,把式子化成
sina*cosa/（sina^2+cosa^2+sina^2）
上下同除cosa^2， 得
tana/(2(tana)^2+1)
在上下同除tana，得
1/[(2tana)+(1/tana)]
用基本不等式，得该式最大值为 （根号2）/4
当tana=（根号2）/2 时，等号成立
所以，tan(a+b)= 根号2