Question

这个几何命题是否成立？若成立，请证明。

三个相同椭圆两两相外切，过每个切点作两个椭圆的公切线，则三条公切线交于一点。
注意，成立不成立都请给出证明，单独一个结论没有任何意义。

Answer 1

写上来太麻烦了，其实全等这个条件是多余的，外切这个条件也是多余的，甚至椭圆这个条件也是多余的，按我的证明任意三条圆锥曲线（包括椭圆、圆、抛物线、双曲线）两两相切（不分外切内切），则三条公切线必然共点（包括两两平行的情况，视为交于无穷远点）。大致的思路是把三条曲线的方程用齐次坐标写成：
XT*A*X=0
XT*B*X=0
XT*C*X=0
(XT为矢量X的转置，A,B,C为对称阵）
设A,B公切点为X1,则
X1T*A*X1=0
A*X1=a*(B*X1)
且切线方程为
X1T*A*X=0
同样设出X2,X3
最后证明
A*X1 B*X2 C*X3
三个向量线性相关，
则
[A*X1 B*X2 C*X3]T*X=0
方程有解，即三条切线共点。

Answer 2

是成立的。
首先，椭圆是简单封闭曲线，过切点只能做出内公切线。
由于三椭圆全等，设为A，B，C，
则椭圆A与B，C；椭圆B与A，C；椭圆C与，B位置关系完全相同，
三切点成正三角形，三公切线相交于三角形中心（内，外，垂，重）。
事实上，三等圆空间外切，法向量射影即为题设。

Answer 3

椭圆的b无限趋近于a的时候，椭圆会趋近于圆。三个圆两两外切只有一种情况：摆成一个“品”字。容易知道三条公切线必定交于一点。

Answer 4

不成立