Question

已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴的交点距离为4。求解析式

Answer 1

解：
∵抛物线的顶点为(3-2)
∴抛物线的对称轴是直线x=3
∵抛物线与x轴的交点距离为4
根据抛物线的对称性，抛物线经过点(1,0)和（5,0）
设抛物线的解析式为y=a(x-3)²-2
将(1,0)代入
可得
0=a(1-3)²-2
解得a=1/2
∴抛物线解析式为y=1/2(x-3)²-2

Answer 2

顶点为（3，-2），
y=a(x-3)²-2
y=ax²-6ax+9a-2
则由韦达定理
x1+x2=6
x1x2=(9a-2)/a
与x轴的交点距离=|x1-x2|=4
(x1-x2)²=4²
(x1+x2)²-4x1x2=16
36-4(9a-2)/a=16
(9a-2)/a=5
9a-2=5a
a=1/2
y=1/2(x-3)²-2
即y=x²/2-3x+5/2

Answer 3

根据顶点坐标，可设抛物线方程为
y = a(x -3)^2 - 2
其中 ^2 表示平方

与x轴两交点间的距离为4
因为 x = 3 是对称轴，所以交点横坐标分别为
x1 = 3 - 4/2 = 1
x2 = 3 + 4/2 = 5

以 x = 1 代如 y = a(x-3)^2 -2
0 = a ( 1-3)^2 - 2
0 = 4a - 2
a = 1/2

所以
y = (1/2) (x -3)^2 - 2

Answer 4

根据题意，知对称轴为x=3，且与X轴两交点的距离为4，易知抛物线与X轴的交点为（1，0）（5，0）
设f(x) = ax^2 + bx + c
f(1)=a+b+c=0
f(5)=25a+5b+c=0
f(3)=9a+3b+c=-2
联立三式，解得a=1/2,b=-3,c=5/2
f(x) = 1/2x^2 - 3x + 5/2

Answer 5

设两个交点坐标分别为(x1,0) (x2,0)
顶点横坐标3=x1+x2/2
又|x1-x2|=4
故x1=5,x2=1

故可设抛物线方程式为y=a(x-5)(x-1)
代入x=3，有，-2=a*-2*2，a=1/2

故，抛物线方程式为y=(x-5)(x-1)/2