Question

已知数列{an}中，a1=3\5,an.a(n-1)=2a(n-1)(n≥2,n∈N).数列{bn}是等差数列且满足bn=1\(an-1)(n∈N).求数

已知数列{an}中，a1=3\5,an.a(n-1)=2a(n-1)(n≥2,n∈N).数列{bn}是等差数列且满足bn=1\(an-1)(n∈N).求数列{an}中的最小值与最大值

Answer 1

(1)an*a(n-1)+1=2a(n-1)

an=[2a(n-1)-1]/a(n-1)
an -1= [2a(n-1)-1]/a(n-1) -1= [a(n-1)-1]/a(n-1)

1/(an -1) = a(n-1)/[a(n-1)-1] = {[a(n-1)-1]+1} /[a(n-1)-1]
=1+ 1/[a(n-1) -1]

1/(an -1) -1/[a(n-1) -1] =1

即 bn － b(n-1)= 1
所以bn 是等差数列。

(2) bn =b1 +1*(n-1)= 1/(a1 -1) +n-1=1/(-2/5) +n-1= n-7/2, n>=2

an =1/bn +1 =1/(n-7/2) +1= 1+ 2/(2n-7)

当2n-7>0, 且2n-7为最小时，an有最大值，
2n-7>0, n>7/2, n＝4时，2n-7>0且最小，此时a4最大，a4＝1+2/(2*4-7)=3

当2n-7<0, 且2n-7为最大时，an有最小值。
n<7/2, 取n＝3时，2n-7<0且最大（最接近0），此时a3＝1+2/(6-7)=-1