Question

设n方阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n

Answer 1

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.

Answer 2

设 X为n维空间， 设 e1, e2, ..., e_i， i = R(A), 为 AX 的一组基，并扩充为 e1, e2, ..., e_i, e_(i+1), ..., e_n, 使得其为 X 的一组基。

任给 x， A(Ax) = Ax, 这意味着 A 在AX 上为单位映射。所以：
对所有 1<= s <= i,
Ae_s = e_s,
（A-E)e_s = 0,
==> R(A-E) <= n - R(A)；

设 M为由 e_(i+1), ..., e_n 生成的子空间，并定义投射：
P: X --> M,
P(e_s) = 0， 1 <= s <= i;
P(e_s) = e_s, i < s <= n.

对所有 i< s <= n,
P(A-E)(e_s) = P(Ae_s - e_s) = -e_s. （PAe_s = 0 因为Ae_s在AX中）
所以 R(P(A-E)) >= n - i.
于是 R(A-E) >= R(P(A-E)) >= n - R（A）。

综合上面， R(A-E) = n - R（A）。
即：R(A)+R(A-E)=n