Question

已知定义在（0，+无穷）上的函数f（x）同时满足下列三个条件

已知定义在（0，+无穷）上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（2）=-1；②对任意x。y∈（0，+无穷）都有f(xy)=f(x)+f(y)；③当0＜x＜1时，f（x）＞0
求（1）f（4） f（根号2）的值 （2）证明：函数f（x）在（0，+无穷）上为减函数； （3）解关于x的不等式f（2x）＜f（x-1）-2

Answer 1

解：(1)因为f(2)=-1,f(xy)=f(x)+f(y),所以f(4)=2f(2)=-2
因为f(2)=2f(根号2）=-1，所以f(根号2）=-0.5
(2)因为f(1)=2f(1),所以f(1)=0
又因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以f(x)>0，0<x<1
f(x)=0,x=1
f(x)<0,x>1
即函数f(x)在（0，+无穷）递减
(3)f(2x)=f(2)+f(x)=-1+f(x)<f(x-1)-2,
f(x)<f(x-1)-1
f(x)<f(x-1)+f(2)
f(x)<f(2x-2)
因为函数f(x)是递减函数且定义域为x>0
所以x>2x-2，0<x<2

Answer 2

第一问，，f(4）=-2，f（根2）=-1/2
第二问，