Question

若｛an｝是公差d≠0的等差数列，通项为an，｛bn｝是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3

（1）求d和q
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N＋都有an＝㏒ b ＋b成立，若存在求之，若不
a n
存在则说明理由 （a是㏒的角标，n是b的角标）

Answer 1

(1)
由题意
a2=1+d=b2=q
a6=1+5d=b3=q^2，
解得：
d=3，q=4。
(2)
由(1)知等差数列的首项为1，公差为3，
所以an=1+(n-1)*3=3n-2；
等比数列的首相为1，公比为4，
bn=1*4^(n-1)=4^(n-1)
an*bn=(3n-2)4^(n-1)
于是Sn=1*4^0+4*4^1+……+(3n-2)*4^(n-1)
4Sn=1*4^1+4*4^2+……+(3n-2)*4^(n)
两式相减，得-3Sn=1+3*4+3*4^2+……+3*4^(n-1)-(3n-1)*4^(n)
所以，Sn=(n-1)4^n+1
假设存在常数a、b满足等式，
则(3-log(a)4)n+(log(a)4-b-2)=0
因为n为正整数，要使上式恒成立，必有
3-log(a)4=0
log(a)4-b-2=0
解得
a=4^(1/3)、b=1
所以存在常数a、b满足题意

Answer 2

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/0d87aa61-8212-44a0-9ca1-c56fa63b284e