Question

求|X-1|+|X-2|+|X-3|+....+|X-2011|的最小值

Answer 1

求|X-1|+|X-2|+|X-3|+....+|X-2011|的最小值
设S(X)=|X-1|+|X-2|+|X-3|+....+|X-2011|
如果1≤k=X≤2011,其中k是整数,则
|X-1|+|X-2|+|X-3|+....+|X-k|
=(k-1)+(k-2)+(k-3)+....+(k-k)= k(k-1)/2
|X-k-1|+|X-k-2|+…+|X-2011|
=(k+1-k)+ (k+2-k) +....+(2010-k)+(2011-k)
=(2012-k)(2011-k)/2
故S(k)= k(k-1)/2+(2012-k)(2011-k)/2
=k^2-2012k+1006×2011
S(k)是关于k的2次函数,首项系数为1,大于零,故2次函数有最小值,在k=2012/2=1006时取得取小值,此时
S(1006)=|X-1|+|X-2|+|X-3|+....|X-1006|+|X-1005|+…+|X-2010|+|X-2011|=|1005|+|1004|+|1003|+....+|0|+|-1|+…+|-1004|+|-1005|
=2(1+2+3+…+1005)=1011030.

如果X不是整数时,X属于[k,k+1]可以证明当k≥2006时,S(k)> S(X), k<2006时,S(k)<S(X), X属于[k,k+1]时,S(X)的最小值必在端点取得.从而得S(X)的最小值为 S(1006)= 1011030.

Answer 2

整个式子的和可以看成数轴上一点到点1、2、3……2011的距离和
由于点有奇数个，所以当X和中点重合时，和最小。即X=1006
此时距离为1005+1004+……+1+0+1+……+1005=2×（1+2+……+1005）
利用等差数列求和公式。原式=1005×1006=1011030

Answer 3

当X=1006时最小
最小值=1006*1005
（找不到乘号，只好用这个了）

Answer 4

正确答案貌似应该是794598996吧…… 哦，对不起，看错题了