Question

一道高考数学题

设[x]表示不超过x的最大正整数 对于给定的n∈N* 定义C(n,x)=n(n-1)……(n-[x]+1)/x(x-1)……(x-[x]+1) ,x∈[1,+∞)则当x∈[3/2,3)时,函数C(8,x)的值域是?

Answer 1

x∈[3/2,2) [x]=1 当x∈[2,3) [x]=2
函数C(8,x) 的定义域分两个区间。表达式分别为：
x∈[3/2,2) C(8,x)=8/x 根据n-[x]+1=n 就是初始项，所以，就1项 8
根据x-[x]+1=x 就是初始项，所以就1项 是x
同样，
x∈[2,3) C(8,x)=8*7/x(x-1)=56/x(x-1) 道理也是根据n-[x]+1=n-1
x-[x]+1=x -1 判断分子分母各有两项。

所以，①当x∈[3/2,2) 时， C(8,x)范围是（4,16/3] 反比例函数
② 当x∈[2,3) 时，
C(8,x)=56/x(x-1) =56/[(x-1/2)²-1/4]
x∈[2,3),[(x-1/2)²-1/4]单调递增，所以C(8,x)在x∈[2,3）时，单调递减。
C(8,x)范围是（28/3,28]
所以，当x∈[3/2,3)时,函数C(8,x)的值域是是（4,16/3]∪（28/3,28]

Answer 2

因为x∈[1.5,3)
所以[x]=1或2

当x∈[1.5，2）时，
C(8,x)=8/x∈(4,16/3]

x∈[2,3）时，
C(8,x)=8*7/x(x-1)
因为x(x-1)∈[2,6)
所以C(8,x)∈(28/3,28]

综上，值域是(4,16/3]∪(28/3,28]