Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的实数a、b，满足f（ab）=af（b）+bf（a）。

已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的实数a、b，满足f（ab）=af（b）+bf（a）。
（1）判断函数f（x）在R上是否是单调函数为什么？
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的判断：
（3）证明：对于任意正整数n恒有 f（a的n次方）=na的n次方f（a）成立。

Answer 1

1，直接令a=b=0或1就可求出
f(0)=f(1)=0
2，令a=b=x代入得
f(x²)=2xf(x)
再令a=b=-x代入得
f(x²)=-2xf(-x)
所以有 2x(f(x)+f(-x))=0
x不等于0时有 f(x)+f(-x)=0
而x=0时上式依然成立，所以
f(x)为奇函数
3.= =不会

Answer 2

奇函数