Question

函数f(x）=x/1+x^2是定义在（-1,1）的奇函数且f(1/2)=2/5,用定义证明f(x)在（-1,1）上是增函数

Answer 1

设任意-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

因为（1+x1^2）(1+x2^2)>0
x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)
=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)
=(x2-x1)(x1x2-1)

(x2-x1)>0
(x1x2-1)<0

所以：f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
x1<x2
所以：f（x）在（—1，1）上是增函数

Answer 2

令-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[(x2-x1)(1-x1x2)]/[(x1+x1^2)(1+x2^2)]
上式中分母恒大于零，且x2-x1>0
又-1<x1<x2<1，:. 1-x1x2>0
f(x2)-f(x1)>0 则函数在区间(-1,1)上位增函数