Question

高中数学一道

已知三个不等式：（1）x^2-4x+3<0；（2）x^2-6x+8<0；（3）2x^2-9x+m<0。要同时满足不等式（1）（2）的x的值满足不等式（3），求实数m的取值范围。
我有一些思路 但是又觉得不对 m的范围更是没法确定 我的范围可能会大很多 求详解
光有思路不行 要有过程 不胜感激

Answer 1

容易解得(1)(2)的解集分别为
(1,3)，(2,4)
取它们的交集得到(2,3)

对于2x²-9x+m<0

令f(x)=2x^2-9x+m=0，其开口向上，很显然要使得f(x)=0有解，必然要求判别式△=81-8m≥0，否则方程无解，不等式的解集为空集。
因此得到第一个对m的限制条件m≤81/8
当m≤81/8时，很容易解得方程f(x)=0的解为
x=[9±√(81-8m)]/4
因此得到不等式f(x)<0的解集为
[9-√(81-8m)]/4<x<[9+√(81-8m)]/4

要使得(2,3)能满足上述解集，那么就要求(2,3)是上面一个解集的子集
所以即要求
[9-√(81-8m)]/4≤2
[9+√(81-8m)]/4≥3
解得m≤9

综上得到m≤9

Answer 2

x^2-4x+3＜0 ==> 1<x<3
x^2-6x+8＜0 ==> 2<x<4
==> 当2<x<3时，2x^2-9x+m＜0 ...(1)成立
因此，(1)必须有两个根：△=81-8m>0 ==> m<81/8 ...(2)
同时，两个根x1、x2必须位于(2,3)两侧：
(x1 -2)(x2 -2)<0 ==> x1x2 -2*(x1+x2)+4<0 ==> m <10 ...(3)
(x1 -3)(x2 -3)<0 ==> x1x2 -3*(x1+x2)+9<0 ==> m <9 ...(4)
由(2)(3)(4)得： m的取值范围为(-∞,9)