Question

给定函数f(x)=x^+ax+b,对于任意x,y属于R,均有pf(x)+qf

给定函数f(x)=x^+ax+b,对于任意x,y属于R,均有pf(x)+qf(x)≥f(px+qy),其中p+q=1.则p的取值范围是？
指数是2，后面是y，打错了……啥叫轮换对称，我函数还没学，就学了集合和不等式

Answer 1

其实这个用Jensen不等式一下就出来了。
Jensen不等式是：若f(x)存在一段开口向上的曲线，则在这段曲线上有[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n≥f[(x1+x2+…+xn)/n]，当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”。若f(x)存在一段开口向下的曲线，则在这段曲线上有[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n≤f[(x1+x2+…+xn)/n]，当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”。这个是高中奥数的内容，也是大学本科的内容。
Jensen不等式有一个更一般的命题就是：若f(x)存在一段开口向上的曲线，则对于任意的n个非负数Mi（1≤i≤n），在这段曲线上有[M1*f(x1)+M2*f(x2)+…+Mn*f(xn)]/(M1+M2+…+Mn)≥f[(M1*x1+M2*x2+…+Mn*xn)/(M1+M2+…+Mn)]，当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”。开口向下同理。
此题的f(x)=x^2+ax+b，是典型的开口向上的抛物线，所以我任取抛物线上的两点x、y∈R。根据题干信息，依然恒有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，又p+q=1，变形即为标准的Jensen不等式：
[pf(x)+qf(y)]/(p+q)≥f[(px+qy)/(p+q)]
所以，满足此不等式须p≥0，q=1-p≥0。
所以，p的取值范围是[0,1]。