Question

三角函数题求解，求认真解答，谢谢！

已知α∈（0,π),且sinα+cosα=m，(0<m<1),试判断式子sinα-cosα的符号

Answer 1

解：
法一：
因为sinα+cosα=√2sin（α+π／4）=m
所以sin（α+π／4）=m／√2
又因为0<m<1,则0＜m＜√2／2
所以0＜sin（α+π／4）＜√2／2，且有α∈（0,π）
所以得
π／2＜α＜3π／4，则π＜2α＜3π／2
设sinα-cosα=n,则mn=（sinα+cosα）（sinα-cosα）
=sin²α－cos²α
=－cos2α
因为π＜2α＜3π／2，所以-cos2α＞0
所以mn＞0，又0<m<1，所以n＞0,所以sinα-cosα＞0

法二：
sinα+cosα=m，等号两边同时平方可得
1＋2sinαcosα=m²
所以有sinαcosα=（m²－1）／2
又因为0<m<1，则有（m²－1）／2＜0
所以sinαcosα＜0
又因为α∈（0,π),有sinα＞0,所以cosα＜0
sinα-cosα＞0

Answer 2

sina+cosa=m→sin2a=m²-1
因为:0<m<1,0<m²<1
→sin2a=m²-1<0
→aε(90,180)
→sina>0,cosa<0
→sina-cosa>0