Question

求教：一道数学题~~~~~~

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内的任意x1,x2 都有f(x1×x2）=f(x1)+f(x2) 当x＞1时 f(x)＞0，f(2)=1

1.求证 f(x)=f(-x)
2.证明 f(x)在（o，正无穷）上是增函数
3。解不等式f( |x| +1)＜2

Answer 1

1.取x1=1,x2=1,则有f(1)=2f(1),于是f(1)=0;
取x1=-1,x2=-1,则有f(1)=2f(-1),于是f(-1)=0;
再取x1=x,x2=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),于是命题得证.

2.设0<x1<x2<+∞,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2·x1/x1)
=f(x1)-f(x1·x2/x1)
=f(x1)-[f(x1)+f(x2/x1)]
=-f(x2/x1)
而x2/x1>1,于是f(x2/x1)>0,因此f(x1)-f(x2)<0
因此f(x)在(0,+∞)上是增函数.

3.f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,
于是f(|x|+1)<2
<=> f(|x|+1)<f(4)
又|x|+1>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
于是原不等式<=> |x|+1<4
<=> |x|<3
<=> -3<x<3.

Answer 2

1、根据题意设x为不为0的一切实数，则有
f(x*x)=f(x²)=f(x)+f(x)=2f(x)
f(-x*(-x))=f(x²)=2f(-x)=2f(x)
所以f(x)=f(-x)

Answer 3

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(1)=0
1、
因为f(x^2)=f((-x)^2)
由性质2f(x)=2f(-x)，1得证
2、
x1>x2>0,x1/x2>1，f(x1/x2)>0
f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)>f(x2),2得证
3、f( |x| +1)＜2=2f(2)=f(4)
f(x)在（o，正无穷）上是增函数
所以 |x|+1<4，解出|x|<3, -3<x<3

Answer 4

1.f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1) 得 f(1)=0
f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1) 得 f(-1)=0
f(x)=f[(-x)×(-1)]
=f(-x)+f(-1)
=f(-x)
故 f(x)=f(-x)

2.设 x1>x2>0 ∴x1/x2>1
f(x1)-f(x2)=f[x2·(x1/x2)]-f(x2)
=f(x2)+f(x1/x2)-f(x2)
=f(x1/x2) >0 （∵x＞1时 f(x)＞0）
∴f(x1)>f(x2)
显然，f(x)在（o，+∞）上是增函数

3. f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
f( |x| +1)＜2=f(4)
|x| +1>1
∵f(x)在（o，+∞）上是增函数
∴|x| +1<4
即 |x|<3
解得 -3<x<3