Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°。把△ABC绕点C按逆时针方向旋转，旋转角的角度为α。当△ADA'S是等

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°。把△ABC绕点C按逆时针方向旋转，旋转角的角度为α。当△ADA'S是等腰三角形时，求旋转角α；若AC=10根号2，求当α=45°时，△ACA'的面积

Answer 1

（1）解：连接AA’，

因为∠ ACB=90°，∠BAC=30°。把三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A’B’C’，

则AC=A’C，∠B=60°，

因为△ADA’为等腰三角形，

所以当AD=AA’时，则∠ADA’=∠AA’D，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则30°+α=90°-α/2,则60°+2α=180°-α，

所以3α=120°，α=40°；

当AA’=A’D时，则∠A’DA=∠A’AD，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

则30°+α=60°-α/2,

3α/2=30°，则α=20°；

当A’D=AD时，则∠AA’D=∠A’AD，

因为∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

∠AA’D=90°-α/2，

则60°-α/2=90°-α/2，60°=90°，显然不成立。

所以，综上所述，可得；α=40°或20°。

2)在△ACA’中，AC=A'C=10√2，
夹角∠ACA’=45°，
过A作AP⊥A’C，高AP=10√2÷√2=10.
∴S△ACA’=1/2·10√2·10
=50√2.